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Gamebaby Rock Sun的博客

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(转)如何理解统计中的特征函数?  

2014-05-10 23:05:36|  分类: 数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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引入特征函数是非常自然的事情:
  • 在实际应用中,逐个测量事件空间中的各事件发生的概率(或者分布函数)是极端困难的,相反,对大多数分布而言,矩(平均值、方差以及各种高阶矩)往往是容易被测量的;
  • 在问题变得复杂之后,再来计算矩(例如均值、方差等等)的时候,如果我们知道分布函数,那么我们要做的是求和与积分,而如果我们知道特征函数,在计算矩的时候,我们要做的只是微分,而通常,求导会比直接积分更容易,而且可以针对各阶矩有更统一的形式。
而因为考虑到这两个因素,再加上 Fourier 空间跟实空间可以一一对应起来,所以大家就更喜欢特征函数了。

接下来,Laplace 变换行不行?当然也可以,这其实是一码事。统计物理学家很熟悉的「配分函数」也就是一个特征函数:Z = \int _0^\infty g(E) e^{-\beta E}dE,它就对应于态密度 g(E) 的Laplace 变换。对物理学家而言,喜欢用逆温度(Laplace),或者喜欢用虚时间(Fourier)这其实是一码事的,如果在这种时候用虚时间来写,一个好处是显得高端大气,另一个好处是可以与路径积分联系起来,而且,Laplace 变换用的时候总得要写「正半轴」之类的东西,写起来太麻烦。

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